إنجاز تاريخي: علماء الرياضيات يبنون ساندويتش الرسم البياني الذي طال انتظاره

في عام 2004، افترض اثنان من علماء الرياضيات وجود مفهوم قوي أطلقوا عليه لاحقًا اسم ساندويتش الرسم البياني. كانت دراستهم تتناول الرسوم البيانية، وهي تمثيلات بصرية للعلاقات تتكون من نقاط (تُسمى قمم) وخطوط (تُسمى حواف). يمكن لهذه الرسوم البيانية أن تمثل أي شيء، بدءًا من الشبكات الاجتماعية المعقدة وحتى بنية الإنترنت أو حتى الروابط العصبية داخل الدماغ. كان الهدف هو فهم خصائص نوع معين من الرسوم البيانية – وهو نوع منتشر للغاية في الرياضيات وعلوم الكمبيوتر ولكنه يصعب تحليله – من خلال وضعه، بطريقة رياضية صارمة، بين رسمين بيانيين أبسط.

إذا تمكن الباحثون من إثبات وجود هذا الساندويتش الرياضي، فلن يقتصر الأمر على إظهار أن الرسم البياني الأوسط يمتلك خاصية واحدة مثيرة للاهتمام؛ بل سيُثبت أنه يمتلك مجموعة واسعة من الخصائص الهامة. من خلال تحقيق ذلك، سيكشفون أيضًا عن ارتباط عميق وأنيق بشكل غير متوقع بين عمليتين عشوائيتين مختلفتين تمامًا يرغب علماء الرياضيات في دراستهما.

يقول بو جاو، عالم الرياضيات بجامعة واترلو في كندا، والذي عمل على هذه المشكلة: الفكرة جميلة جدًا. أكثر ما يجذبني هو جمالها.

على مدى العقدين الماضيين، أحرز علماء الرياضيات تقدمًا ملحوظًا في ما يعرف باسم حدسية الساندويتش، التي تنص على أنه طالما أن الرسم البياني محل الاهتمام كبير بما فيه الكفاية، فمن الممكن دائمًا إنشاء الساندويتش المطلوب. ومع ذلك، لم يتمكن أحد من إثباتها بالكامل. ولكن في عام 2025، وجد ثلاثة من علماء الرياضيات طريقة لدفع تقنيات مجالهم إلى أقصى حدودها، وأكملوا هذه المهمة المعقدة.

الرسوم البيانية: أنواع وأصناف متنوعة

في أواخر الخمسينيات، كان عالم الرياضيات الأمريكي إدغار جيلبرت يدرس شبكات الهاتف في مختبرات بيل. لفهم هذه الشبكات بشكل أفضل، ابتكر نموذجًا بسيطًا للرسم البياني العشوائي، حيث تتصل القمم ببعضها البعض بطريقة عشوائية. (في نفس الوقت تقريبًا، توصل عالما الرياضيات بول إيردوس وألفريد ريني بشكل مستقل إلى نموذج مماثل).

لإنشاء أحد هذه الرسوم البيانية، تبدأ بمجموعة من القمم. تختار أي زوج من القمم في مجموعتك، ثم تقلب عملة معدنية (قد تكون متحيزة). إذا ظهرت الصورة، ترسم حافة بينهما؛ وإلا، تنتقل. تُكرر هذه الخطوة مع كل زوج من القمم في الرسم البياني.

اتضح أن هذه الرسوم البيانية، المعروفة باسم الرسوم البيانية العشوائية ذات الحدين، توفر طريقة مفيدة – وإن كانت غير مكتملة – لتمثيل الشبكات. كانت سهلة التحليل نسبيًا، وقد أثبت علماء الرياضيات العديد من الخصائص المثيرة للاهتمام حولها. بحلول السبعينيات، على سبيل المثال، اكتشفوا الظروف التي بموجبها سيحتوي الرسم البياني العشوائي ذو الحدين على دورة هاميلتونية، وهو مسار يزور كل قمة مرة واحدة بالضبط.

ولكن هذا ليس النوع الوحيد من الرسوم البيانية العشوائية. كان علماء الرياضيات مهتمين أيضًا بالرسوم البيانية العشوائية التي تحتوي فيها جميع القمم على نفس عدد الحواف. تُعرف هذه بالرسوم البيانية المنتظمة، وتوفر فهمًا أفضل للبنية العشوائية مقارنة بالرسوم البيانية ذات الحدين، وغالبًا ما تكون أكثر دقة في نمذجة شبكات العالم الحقيقي.

لكن نظرًا لأن حوافها تشكل أنماطًا أكثر تقييدًا وترابطًا، فإن تحليلها أكثر صعوبة. استغرق الأمر 20 عامًا إضافية من العمل بعد الإجابة على سؤال دورات هاميلتون في الرسوم البيانية ذات الحدين قبل أن يتمكن علماء الرياضيات من تحقيق نفس الإنجاز للرسوم البيانية المنتظمة.

ولكن ماذا لو كان بإمكانك تقريب الرسوم البيانية المنتظمة العشوائية باستخدام الرسوم البيانية العشوائية ذات الحدين؟ إذا كان ذلك ممكنًا، يمكن لعلماء الرياضيات استنتاج العديد من الخصائص التي يصعب إثباتها للرسم البياني المنتظم من الرسم البياني ذي الحدين المطابق – بسهولة نسبية.

في أوائل العقد الأول من القرن الحادي والعشرين، أظهر كل من جيونج هان كيم، الذي كان آنذاك في Microsoft Research، وفان ها فو، الذي كان آنذاك في جامعة كاليفورنيا، سان دييغو، كيفية صنع شطيرة الرسم البياني.

الفكرة، بشكل مبسط، هي إيجاد وصفة واحدة – عملية عشوائية – لبناء رسم بياني ذي حدين ورسم بياني منتظم في نفس الوقت. لا يجب أن تنتج هذه الوصفة الأنواع الصحيحة من الرسوم البيانية فحسب، بل يجب أن تتناسب هذه الرسوم البيانية معًا بالطريقة الصحيحة. إذا تم تحقيق ذلك، فعند إثبات نتائج حول الرسم البياني ذي الحدين، وهو أسهل نسبيًا في التحليل، فإن هذه النتائج ستُطبق أيضًا على الرسم البياني المنتظم.

في تشبيه الساندويتش، يشبه الأمر إثبات خصائص تتعلق بإحدى شرائح الخبز ومعرفة أن هذه النتائج تنطبق أيضًا على الجبن الموجود في المنتصف.

ولكن كيف يجب أن تتناسب هذه الرسوم البيانية معًا بالضبط؟ يتطلب الأمر وصفة تضع فيها الجبن على كل شريحة خبز بشكل متناسب.

أولاً، أنت بحاجة إلى وصفة تمنحك رسمًا بيانيًا منتظمًا يتضمن رسمًا بيانيًا ذا حدين. هذا يعني أن حواف الرسم البياني ذي الحدين تشكل مجموعة فرعية من الحواف التي يتكون منها الرسم البياني المنتظم. إذا كان هذا الرسم البياني ذو الحدين يحتوي على أي خاصية من المرجح أن تظهر عند إضافة حواف إليه، فإن الرسم البياني المنتظم الخاص بك سيحتوي أيضًا على هذه الخاصية. هذا هو النصف السفلي من شطيرة كيم وفو.

إن هذا الإنجاز في ساندويتش الرسم البياني لا يمثل مجرد حل لمسألة رياضية عويصة، بل يفتح آفاقًا جديدة لفهم الشبكات المعقدة في مختلف المجالات، من علم الأحياء إلى علوم الحاسوب، ويُبشر بتطوير أدوات تحليلية أكثر قوة وفعالية في المستقبل.